Cómo dominar el péndulo invertido en un carrito [Control Bootcamp]

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Cómo dominar el péndulo invertido en un carrito [Control Bootcamp]

Índice de contenidos:

  1. Introducción
  2. El sistema del péndulo invertido
  3. El estado del sistema
  4. Puntos fijos
    • 4.1. Punto fijo 1: Péndulo hacia abajo
    • 4.2. Punto fijo 2: Péndulo hacia arriba
  5. Linealización del sistema
  6. Controlabilidad del sistema
  7. Diseño de controladores
    • 7.1. Control proporcional
    • 7.2. Regulador cuadrático lineal (LQR)
  8. Implementación en MATLAB
  9. Resultados y análisis
  10. Conclusiones

Introducción

En este artículo, exploraremos el emocionante mundo del control de sistemas con MATLAB. Comenzaremos aplicando los conceptos teóricos de control a un ejemplo práctico: el péndulo invertido sobre un carro. Este sistema es un caso interesante debido a su naturaleza no lineal y sus múltiples grados de libertad. Analizaremos cómo podemos diseñar controladores para estabilizar el sistema y lograr un control eficiente.

El sistema del péndulo invertido

Imaginemos un péndulo invertido que está montado sobre un carro. Podemos mover el carro en cualquier dirección y nuestro objetivo es estabilizar el péndulo para que permanezca en posición vertical. Este sistema tiene dos grados de libertad: la posición del carro (X) y el ángulo del brazo del péndulo (θ). Para describir el estado del sistema, utilizaremos un vector de estados (Y) que contiene la posición (X), la velocidad del carro (X'), el ángulo (θ) y la velocidad angular del péndulo (θ'). El sistema de ecuaciones de movimiento es no lineal y se compone de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas.

El estado del sistema

El estado del sistema se define mediante el vector de estados Y = [X X' θ θ']. Este vector describe la posición del carro, la velocidad del carro, el ángulo del péndulo y la velocidad angular del péndulo. La evolución temporal del sistema se puede describir mediante las ecuaciones diferenciales ordinarias correspondientes a cada variable de estado. Estas ecuaciones son no lineales y están acopladas, lo que complica el análisis y control del sistema.

Puntos fijos

Antes de diseñar un controlador para estabilizar el sistema, es importante identificar los puntos fijos o de equilibrio del sistema. Estos son los estados en los que las fuerzas y las aceleraciones se cancelan, lo que resulta en un sistema en reposo. En el caso del péndulo invertido sobre el carro, existen dos puntos fijos básicos:

4.1. Punto fijo 1: Péndulo hacia abajo

En este punto fijo, el péndulo se encuentra en posición vertical hacia abajo, mientras que el carro se mantiene fijo. En este estado, el ángulo del péndulo θ debe ser igual a cero, la velocidad angular del péndulo θ' debe ser igual a cero y la velocidad del carro X' también debe ser igual a cero.

4.2. Punto fijo 2: Péndulo hacia arriba

En este punto fijo, el péndulo se encuentra en posición vertical hacia arriba, mientras que el carro se mantiene fijo. En este estado, el ángulo del péndulo θ debe ser igual a π (Pi), la velocidad angular del péndulo θ' debe ser igual a cero y la velocidad del carro X' también debe ser igual a cero.

Linealización del sistema

Dado que el sistema es no lineal, podemos simplificar el análisis y el diseño del controlador mediante la linealización del sistema en torno a los puntos fijos. Utilizando técnicas como el teorema de Taylor, podemos aproximar el comportamiento del sistema en un entorno pequeño alrededor de los puntos fijos mediante un sistema lineal. Esto nos permite utilizar herramientas de control lineal para diseñar controladores estables y efectivos.

Controlabilidad del sistema

Antes de diseñar un controlador, es importante verificar si el sistema es controlable, es decir, si es posible afectar las variables de estado utilizando el controlador. Para Ello, calculamos la matriz de controlabilidad (CTR) que nos muestra la relación entre el vector de estados y el vector de entrada. Si la CTR tiene rango completo, significa que todas las variables de estado son afectadas por el controlador y el sistema es controlable.

En el caso del péndulo invertido sobre el carro, hemos verificado que el sistema es controlable, lo que significa que podemos diseñar un controlador efectivo para estabilizar el sistema.

Diseño de controladores

Una vez que hemos establecido la controlabilidad del sistema, podemos proceder al diseño de controladores. Existen varias técnicas de control que podemos emplear, pero en este artículo nos centraremos en dos enfoques principales:

7.1. Control proporcional

El control proporcional (P) es la forma más básica de control, donde la señal de control es proporcional a la diferencia entre el estado actual y el estado deseado. En el caso del péndulo invertido sobre el carro, el controlador proporcional actúa calculando la señal de control como la multiplicación de una constante (ganancia proporcional) y la diferencia entre el ángulo del péndulo actual y el ángulo deseado. Este controlador es simple pero puede ser efectivo para estabilizar el sistema.

7.2. Regulador cuadrático lineal (LQR)

El regulador cuadrático lineal (LQR) es una técnica más sofisticada que optimiza el desempeño del controlador teniendo en cuenta tanto los errores del estado como las exigencias de control. Utilizando técnicas de optimización, el LQR calcula una matriz de ganancia óptima que minimiza una función de costo definida. Este tipo de controlador es más complejo pero puede producir resultados superiores en términos de estabilidad y eficiencia del control.

Implementación en MATLAB

En MATLAB, podemos implementar y simular el sistema del péndulo invertido sobre el carro utilizando las herramientas disponibles en la biblioteca de control. MATLAB ofrece funciones y comandos específicos para diseñar y simular controladores de sistemas lineales y no lineales. Mediante la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del sistema, podemos obtener resultados realistas y analizar el comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones.

Resultados y análisis

Después de diseñar y simular los controladores en MATLAB, podemos analizar los resultados y evaluar la eficacia de los controladores en la estabilización del sistema del péndulo invertido sobre el carro. Mediante la visualización de gráficos y la comparación de métricas de desempeño, podemos determinar si los controladores cumplen con los objetivos de control establecidos y si hay margen de mejora.

Conclusiones

En este artículo, hemos explorado el emocionante campo del control de sistemas utilizando MATLAB. Hemos analizado el sistema del péndulo invertido sobre el carro y hemos diseñado controladores para estabilizar el sistema en diferentes condiciones. A través de la linealización, la verificación de la controlabilidad y el diseño de controladores adecuados, hemos logrado controlar eficientemente el sistema. MATLAB proporciona una plataforma poderosa y flexible para el diseño, simulación y análisis de sistemas de control, lo que nos permite explorar y comprender mejor el comportamiento de los sistemas y mejorar su desempeño.

FAQ:

Q: ¿Qué es el control proporcional? A: El control proporcional es una técnica de control básica donde la señal de control es proporcional a la diferencia entre el estado actual y el estado deseado.

Q: ¿Cuál es la ventaja del regulador cuadrático lineal (LQR)? A: El LQR es una técnica de control más sofisticada que optimiza el desempeño del controlador teniendo en cuenta tanto los errores del estado como las exigencias de control.

Q: ¿Qué herramientas ofrece MATLAB para el diseño y simulación de controladores? A: MATLAB ofrece funciones y comandos específicos en su biblioteca de control para el diseño y simulación de controladores de sistemas lineales y no lineales.

Recursos:

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