Desafío intelectual imposible de resolver

Table of Contents

1. Introducción
2. Resumen del acertijo
3. Estrategia incorrecta: búsqueda aleatoria
4. La estrategia del bucle
5. Explicación de la estrategia
6. Probabilidad de éxito con la estrategia del bucle
7. Análisis matemático de la probabilidad
8. Impacto del número de prisioneros en la probabilidad de éxito
9. Límite de la probabilidad de éxito
10. Conclusiones

Introducción

En este artículo exploraremos un acertijo intrigante que aparenta ser imposible de resolver. Se trata de un enigma que involucra a 100 prisioneros atrapados en una habitación con 100 cajas numeradas. Cada prisionero tiene la tarea de encontrar su propio número dentro de las cajas, pero existe una restricción que complica la situación: si alguno de los prisioneros falla en encontrar su número, todos serán ejecutados. ¿Es posible que los prisioneros encuentren exitosamente sus números? ¿Cuál sería la mejor estrategia para aumentar sus probabilidades de éxito? Acompáñanos mientras exploramos este fascinante acertijo y descubrimos su solución.

Resumen del acertijo

Imagina que hay 100 prisioneros numerados del 1 al 100. Cada uno de ellos tiene un trozo de papel con su número y estos papeles se colocan aleatoriamente en 100 cajas. Los prisioneros, de uno en uno, pueden entrar a la habitación y abrir las cajas que deseen para encontrar su número. Sin embargo, no pueden comunicarse de ninguna manera con los otros prisioneros. El objetivo es que cada prisionero encuentre su propio número durante su turno en la habitación. Si todos los prisioneros logran encontrar su número, serán liberados. Pero si tan solo uno falla, todos serán ejecutados.

Estrategia incorrecta: búsqueda aleatoria

Antes de explorar la estrategia correcta para resolver el acertijo, es importante entender por qué la búsqueda aleatoria no es efectiva. Si cada prisionero decide buscar su número aleatoriamente, tendrá una probabilidad del 50% de encontrarlo. Sin embargo, la probabilidad de que los 100 prisioneros encuentren sus números en este caso es extremadamente baja. Para entender mejor esta probabilidad, hagamos algunos cálculos.

La probabilidad de que todos los prisioneros encuentren su número aleatoriamente es de 0.5^100, lo cual es prácticamente cero. Para poner esta probabilidad en perspectiva, es más probable que dos personas tomen el mismo grano de arena de todas las playas y desiertos de la Tierra que estos prisioneros encuentren sus números de forma aleatoria.

La estrategia del bucle

Afortunadamente, existe una estrategia que aumenta significativamente las probabilidades de éxito de los prisioneros. Esta estrategia, conocida como "la estrategia del bucle", permite que los prisioneros colaboren indirectamente para encontrar sus números de forma más eficiente.

La idea principal detrás de la estrategia del bucle es que cada prisionero comienza abriendo la caja que contiene su propio número. Aunque es probable que el número encontrado no sea el suyo, esto sirve como punto de partida. A partir de ahí, el prisionero busca la caja con el número encontrado y continúa este proceso hasta llegar nuevamente a la caja con su propio número. Al hacer esto, el prisionero cierra el bucle y sabe que ha encontrado su número.

Explicación de la estrategia

La estrategia del bucle se basa en la idea de que todas las cajas forman parte de bucles cerrados. Cada bucle puede ser más largo o más corto, pero al comenzar con la caja que contiene su propio número, el prisionero garantiza su presencia en el bucle que contiene su papel. Entonces, lo que determina si el prisionero encontrará o no su número es la longitud de ese bucle. Si el bucle es lo suficientemente corto, el prisionero encontrará su número antes de abrir las 50 cajas permitidas.

Si todos los prisioneros siguen la estrategia del bucle, el peor escenario posible es que el bucle más largo tenga una longitud de 51. En este caso, los prisioneros que estén en ese bucle fallarán al encontrar su número. Sin embargo, la probabilidad de que todos los prisioneros tengan éxito es la probabilidad de que una disposición aleatoria de las cajas no contenga bucles de más de 50. Esta probabilidad es sorprendentemente Alta, alrededor del 69%.

Probabilidad de éxito con la estrategia del bucle

La estrategia del bucle aumenta significativamente las probabilidades de éxito de los prisioneros. Mientras que al buscar de forma aleatoria cada prisionero tendría una probabilidad del 50% de encontrar su número, utilizando la estrategia del bucle todos los prisioneros tienen al menos un 31% de probabilidad de éxito. Esto significa que la estrategia del bucle brinda a los prisioneros más de 30 órdenes de magnitud de aumento en sus probabilidades de acertar.

Es importante resaltar que las probabilidades de éxito no son independientes entre los prisioneros. Aunque cada prisionero tiene individualmente una probabilidad del 50%, al seguir la estrategia del bucle todos los prisioneros tienen exactamente la misma probabilidad de encontrar su número que los demás prisioneros de su bucle. Esto significa que o todos los prisioneros tienen éxito juntos, o la mayoría de ellos falla juntos.

Análisis matemático de la probabilidad

La probabilidad de éxito con la estrategia del bucle se puede calcular utilizando conceptos matemáticos. Consideremos todas las diferentes formas en las que se podrían conectar las 100 cajas para formar un bucle de longitud 100. Para la primera caja, hay 100 opciones diferentes. Para la segunda caja, solo quedan 99 opciones, ya que una caja ya se utilizó. Este proceso continúa hasta la última caja, donde solo hay una opción. El número total de permutaciones posibles sería 100! (100 factorial).

Sin embargo, debemos recordar que estas permutaciones no representan líneas de números, sino bucles cerrados. Por lo tanto, es necesario tener en cuenta que algunas de estas permutaciones aparentemente diferentes pueden representar el mismo bucle. Por ejemplo, la permutación 2 3 4 5 ... 100 1 es equivalente a la permutación 1 2 3 4 ... 100. Puedes redistribuir la forma en que escribes estos números de muchas maneras diferentes, pero todas representan el mismo bucle.

Entonces, el número total de bucles únicos de longitud 100 es 100! dividido por 100, lo cual es igual a 99!. Esto nos permite calcular la probabilidad de que cualquier disposición aleatoria de 100 cajas contenga un bucle de longitud 100, que resulta ser 1/100. En otras palabras, hay una probabilidad del 1% de que una disposición aleatoria de papeles forme un bucle de longitud 100.

Impacto del número de prisioneros en la probabilidad de éxito

Es natural preguntarse cómo afectaría el aumento en el número de prisioneros a la probabilidad de éxito en este acertijo. Si tenemos mil prisioneros, cada uno con 500 cajas por abrir, podría pensarse que sus posibilidades de éxito disminuirían significativamente. Sin embargo, los cálculos demuestran que esta no es la caso.

La probabilidad de éxito con mil prisioneros, cada uno con 500 cajas, es de aproximadamente 30.74%, solo un punto porcentual por debajo de la probabilidad de éxito con 100 prisioneros. Esto significa que, a medida que aumenta el número de prisioneros, sus probabilidades de éxito se mantienen cerca del 30%. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el tiempo requerido para abrir todas las cajas aumentaría significativamente con un gran número de prisioneros.

Límite de la probabilidad de éxito

Es natural preguntarse si habrá un límite en la probabilidad de éxito a medida que el número de prisioneros aumenta hacia el infinito. Hasta ahora, no se ha encontrado una respuesta definitiva a esta pregunta. A medida que el número de prisioneros aumenta, la probabilidad de éxito se acerca cada vez más a una probabilidad límite. Según los cálculos matemáticos, esta probabilidad límite se puede calcular como 1 - log(2), lo cual es aproximadamente el 30.7%.

Esto indica que sin importar cuántos prisioneros haya, siempre tendrán al menos un 30% de probabilidad de encontrar sus números utilizando la estrategia del bucle. Aunque puede parecer incorrecto o incluso imposible al principio, este resultado muestra cómo la estrategia del bucle conecta todos los resultados entre sí y ofrece una alta probabilidad de éxito.

Conclusiones

El acertijo de los 100 prisioneros y las cajas ha demostrado ser un desafío intrigante desde el punto de vista matemático. Aunque a primera vista parecía imposible que los prisioneros encontraran sus números, la estrategia del bucle revela una solución sorprendente. Al seguir esta estrategia, los prisioneros tienen al menos un 30% de probabilidad de encontrar sus números, lo cual es mucho más alto que las probabilidades de búsqueda aleatoria.

La estrategia del bucle aprovecha la conexión de todos los resultados entre sí mediante la formación de bucles cerrados. Esto permite que los prisioneros colaboren indirectamente, aumentando significativamente sus posibilidades de éxito en la búsqueda de sus números. A medida que el número de prisioneros aumenta, estas probabilidades se mantienen cercanas al 30%, brindando una esperanza realista de escapar de esta difícil situación.

En conclusión, el acertijo de los 100 prisioneros y las cajas demuestra cómo las estrategias matemáticas pueden superar la intuición inicial y brindar soluciones sorprendentes. La estrategia del bucle nos muestra cómo la cooperación indirecta puede marcar la diferencia en situaciones aparentemente imposibles.