確率分布関数の基礎：PMF、PDF、CDF

目次

1. イントロダクション
2. 離散変数と確率分布関数
   1. 離散変数と確率質量関数
   2. 累積分布関数
3. 連続変数と確率分布関数
   1. 連続変数と確率密度関数
   2. 累積分布関数
4. 確率密度関数と累積分布関数の関係
   1. グラフの解釈
   2. 微分と積分の関係
5. 結論

離散変数と確率分布関数

🎲 離散変数と確率分布関数

確率分布関数には、離散変数と連続変数の2種類があります。離散変数は有限または可算無限の値を取る変数で、例えばサイコロの出目が該当します。サイコロの出目は1から6までの6つの値を取り、それぞれの出現確率は1/6となります。

⚖️ 離散変数と確率質量関数

離散変数には確率質量関数（PMF）があります。PMFは各離散的な出現結果の確率を表す方法です。サイコロの場合、PMFは1/6の確率で各出目が生じることを示します。

📊 累積分布関数

離散変数と連続変数の両方に共通するものとして、累積分布関数（CDF）があります。CDFは特定の値以下の確率を示す関数です。サイコロの場合、各出目が発生する確率を足し合わせた値が表示されることになります。CDFの特徴として、最後の値は必ず1になります。つまり、サイコロを振った場合、出目が6以下になる確率は100％になります。

連続変数と確率分布関数

📏 連続変数と確率密度関数

連続変数は有限の値ではなく連続的な範囲の値を取る変数です。女性の身長のような連続変数の例を考えてみましょう。平均身長が165センチメートルで標準偏差があるとすると、140センチメートルや190センチメートルのような極端な値の出現確率は低くなります。

📈 累積分布関数

連続変数の場合も同様に、累積分布関数（CDF）が存在します。CDFは0から1までの値を取ります。連続変数の確率分布は、通常ベル型の曲線として表現されます。CDFの形状もS字曲線となります。

確率密度関数と累積分布関数の関係

📊 グラフの解釈

確率密度関数（PDF）と累積分布関数（CDF）は密接な関係にあります。グラフでは、PDFがベル型の曲線であり、CDFがS字曲線となっていることが分かります。連続変数の場合、PDFのピークの位置はCDFの勾配が最大となる場所を示しています。PDFの面積がある特定の値以下の確率を表しており、CDFの値と対応しています。

🔍 微分と積分の関係

微分と積分の概念を用いると、CDFとPDFの関係をより具体的に理解することができます。CDFを微分するとPDFが得られ、逆にPDFを積分することでCDFが得られます。微分や積分の計算方法には、解析的な方法や数値的な方法があります。

結論

確率分布関数（PDFおよびCDF）は、統計学における重要な概念です。離散変数と連続変数の両方に適用され、それぞれの変数の確率分布を理解するために使用されます。PDFとCDFの関係を理解することで、データ解析や統計モデリングの基礎を学ぶことができます。

この記事では、離散変数と連続変数の確率分布関数について説明しました。PDFとCDFのグラフの解釈や微分積分の関係についても触れました。統計学の基礎を固めるために、これらの概念についてより深く学ぶことをおすすめします。統計学の面白さを発見し、データ解析のスキルを高めるために、さまざまな学習資料やオンラインコースを活用してください。それでは、良い学習を！