Domine o equilíbrio com o Pêndulo Invertido no Carrinho
Tabela de Conteúdos:
- Introdução
- Sistema de pêndulo invertido
- Linearização do sistema
- Verificando a controlabilidade
- Projeto de controladores
- Conclusão
- Glossário
- Referências
- FAQ
Introdução
Bem-vindo de volta! Agora vamos começar a codificar exemplos reais em MATLAB e ver se eles são controláveis. Vamos projetar controladores para estabilizar o sistema e isso promete ser muito divertido e poderoso. Já fizemos muita matemática para entender o porquê, quando e como controlar as coisas, mas agora é hora de colocarmos a mão na massa e ver o quão fácil é realmente controlar um sistema no MATLAB.
🚀 Sistema de pêndulo invertido
Um dos sistemas com os quais gosto de trabalhar é um pêndulo invertido, mas dessa vez o pêndulo é colocado em cima de um carrinho. Podemos mover esse carrinho ao redor. Por algum motivo, isso parece muito mais físico para mim do que apenas o pêndulo com controle de torque na parte inferior, que parece fácil demais. Isso é um pouco mais interessante. Temos um carrinho e podemos movê-lo, tentando estabilizar o pêndulo invertido.
Vamos pensar nos números que precisamos. Primeiro de tudo, precisamos definir o estado do sistema. O estado do sistema é dado pela posição desse carrinho, que chamaremos de X, e pelo ângulo desse braço do pêndulo, que chamaremos de θ. Portanto, nosso sistema dinâmico de Alta dimensionalidade, que eu vou chamar de vetor Y, terá a forma: Y = [X, ẋ, θ, θ̇]. Como este é um sistema com dois graus de liberdade - X e θ - de acordo com a segunda lei de Newton, teremos quatro equações diferenciais acopladas. Essencialmente, temos dẋ/dt = f(X, θ) e dθ/dt = g(X, θ), onde f e g são funções não lineares.
Linearização do sistema
No entanto, podemos linearizar o sistema e, intuitivamente, sabemos que existem alguns pontos fixos chave. Vou chamar de pendulum down quando θ = 0 e pendulum up quando θ = π. O primeiro passo é computar o Jacobiano do sistema na condição de pendulum down e pendulum up. Com base nesses pontos fixos, podemos obter o sistema linearizado da forma Ẋ = AX + BU, onde U é a força exercida no carrinho na direção X.
Verificando a controlabilidade
Agora precisamos verificar se o sistema é controlável. Para isso, vamos calcular a matriz de controlabilidade C e verificar o seu posto. Se o posto for igual à dimensão do espaço de estados, então o sistema é controlável. Após realizar os cálculos, confirmamos que o sistema é controlável quando as condições pendulum down e pendulum up são consideradas.
Projeto de controladores
Agora que sabemos que o sistema é controlável, podemos projetar um controlador para estabilizá-lo. Vamos usar a técnica de realocação de autovalores para posicionar os autovalores do sistema em qualquer posição desejada. Podemos fazer isso através do comando "place" no MATLAB ou usando o controlador LQR (linear quadratic regulator) para obter um controle ótimo.
🎉 Conclusão
Neste artigo, exploramos o sistema de pêndulo invertido em um carrinho e projetamos controladores para estabilizá-lo. Através da linearização do sistema e da verificação da controlabilidade, pudemos desenvolver um controle eficaz. Com base na localização dos autovalores, podemos projetar controladores para alcançar diferentes comportamentos do sistema. O controle de sistemas complexos como o pêndulo invertido em um carrinho é possível e extremamente interessante de ser explorado.
🔍 Glossário
- Controle: O ato de regular ou governar um sistema para alcançar um estado ou comportamento desejado.
- Pêndulo invertido: Um sistema físico que compreende um pêndulo equilibrado em uma posição instável.
- Linearização: Processo de aproximar um sistema não linear por meio de um sistema linear equivalente.
- Controlabilidade: Propriedade de um sistema que permite atingir qualquer estado desejado através de um controle apropriado.
📚 Referências
[1] Documentação do MATLAB. Disponível em: https://www.mathworks.com/
❓ FAQ
1. O que é um pêndulo invertido?
Um pêndulo invertido é um sistema físico consistindo de um pêndulo sustentado em uma posição instável.
2. Como funciona o controle do pêndulo invertido em um carrinho?
No controle do pêndulo invertido em um carrinho, o objetivo é estabilizar o pêndulo controlando o movimento do carrinho. Isso é feito aplicando uma força adequada no carrinho na direção X.
3. Qual a importância da controlabilidade em sistemas dinâmicos?
A controlabilidade é uma propriedade crucial em sistemas dinâmicos, pois determina se é possível alcançar qualquer estado desejado através de um controle apropriado. É uma condição fundamental para projetar controladores eficazes.
4. Como o MATLAB pode ser usado para projetar controladores?
O MATLAB oferece uma variedade de ferramentas e funções para projetar controladores. É possível utilizar comandos como "place" e "lqr" para posicionar os autovalores do sistema e obter um controle ótimo.
5. O que é linearização de sistemas e por que ela é usada?
A linearização de sistemas é o processo de aproximar um sistema não linear por um sistema linear equivalente. Isso facilita a análise e o projeto de controladores, uma vez que muitos métodos e técnicas são baseados em modelos lineares.