Domine o equilíbrio com o Pêndulo Invertido no Carrinho

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Domine o equilíbrio com o Pêndulo Invertido no Carrinho

Tabela de Conteúdos:

  1. Introdução
  2. Sistema de pêndulo invertido
  3. Linearização do sistema
  4. Verificando a controlabilidade
  5. Projeto de controladores
  6. Conclusão
  7. Glossário
  8. Referências
  9. FAQ

Introdução

Bem-vindo de volta! Agora vamos começar a codificar exemplos reais em MATLAB e ver se eles são controláveis. Vamos projetar controladores para estabilizar o sistema e isso promete ser muito divertido e poderoso. Já fizemos muita matemática para entender o porquê, quando e como controlar as coisas, mas agora é hora de colocarmos a mão na massa e ver o quão fácil é realmente controlar um sistema no MATLAB.

🚀 Sistema de pêndulo invertido

Um dos sistemas com os quais gosto de trabalhar é um pêndulo invertido, mas dessa vez o pêndulo é colocado em cima de um carrinho. Podemos mover esse carrinho ao redor. Por algum motivo, isso parece muito mais físico para mim do que apenas o pêndulo com controle de torque na parte inferior, que parece fácil demais. Isso é um pouco mais interessante. Temos um carrinho e podemos movê-lo, tentando estabilizar o pêndulo invertido.

Vamos pensar nos números que precisamos. Primeiro de tudo, precisamos definir o estado do sistema. O estado do sistema é dado pela posição desse carrinho, que chamaremos de X, e pelo ângulo desse braço do pêndulo, que chamaremos de θ. Portanto, nosso sistema dinâmico de Alta dimensionalidade, que eu vou chamar de vetor Y, terá a forma: Y = [X, ẋ, θ, θ̇]. Como este é um sistema com dois graus de liberdade - X e θ - de acordo com a segunda lei de Newton, teremos quatro equações diferenciais acopladas. Essencialmente, temos dẋ/dt = f(X, θ) e dθ/dt = g(X, θ), onde f e g são funções não lineares.

Linearização do sistema

No entanto, podemos linearizar o sistema e, intuitivamente, sabemos que existem alguns pontos fixos chave. Vou chamar de pendulum down quando θ = 0 e pendulum up quando θ = π. O primeiro passo é computar o Jacobiano do sistema na condição de pendulum down e pendulum up. Com base nesses pontos fixos, podemos obter o sistema linearizado da forma Ẋ = AX + BU, onde U é a força exercida no carrinho na direção X.

Verificando a controlabilidade

Agora precisamos verificar se o sistema é controlável. Para isso, vamos calcular a matriz de controlabilidade C e verificar o seu posto. Se o posto for igual à dimensão do espaço de estados, então o sistema é controlável. Após realizar os cálculos, confirmamos que o sistema é controlável quando as condições pendulum down e pendulum up são consideradas.

Projeto de controladores

Agora que sabemos que o sistema é controlável, podemos projetar um controlador para estabilizá-lo. Vamos usar a técnica de realocação de autovalores para posicionar os autovalores do sistema em qualquer posição desejada. Podemos fazer isso através do comando "place" no MATLAB ou usando o controlador LQR (linear quadratic regulator) para obter um controle ótimo.

🎉 Conclusão

Neste artigo, exploramos o sistema de pêndulo invertido em um carrinho e projetamos controladores para estabilizá-lo. Através da linearização do sistema e da verificação da controlabilidade, pudemos desenvolver um controle eficaz. Com base na localização dos autovalores, podemos projetar controladores para alcançar diferentes comportamentos do sistema. O controle de sistemas complexos como o pêndulo invertido em um carrinho é possível e extremamente interessante de ser explorado.

🔍 Glossário

  • Controle: O ato de regular ou governar um sistema para alcançar um estado ou comportamento desejado.
  • Pêndulo invertido: Um sistema físico que compreende um pêndulo equilibrado em uma posição instável.
  • Linearização: Processo de aproximar um sistema não linear por meio de um sistema linear equivalente.
  • Controlabilidade: Propriedade de um sistema que permite atingir qualquer estado desejado através de um controle apropriado.

📚 Referências

[1] Documentação do MATLAB. Disponível em: https://www.mathworks.com/

❓ FAQ

1. O que é um pêndulo invertido?

Um pêndulo invertido é um sistema físico consistindo de um pêndulo sustentado em uma posição instável.

2. Como funciona o controle do pêndulo invertido em um carrinho?

No controle do pêndulo invertido em um carrinho, o objetivo é estabilizar o pêndulo controlando o movimento do carrinho. Isso é feito aplicando uma força adequada no carrinho na direção X.

3. Qual a importância da controlabilidade em sistemas dinâmicos?

A controlabilidade é uma propriedade crucial em sistemas dinâmicos, pois determina se é possível alcançar qualquer estado desejado através de um controle apropriado. É uma condição fundamental para projetar controladores eficazes.

4. Como o MATLAB pode ser usado para projetar controladores?

O MATLAB oferece uma variedade de ferramentas e funções para projetar controladores. É possível utilizar comandos como "place" e "lqr" para posicionar os autovalores do sistema e obter um controle ótimo.

5. O que é linearização de sistemas e por que ela é usada?

A linearização de sistemas é o processo de aproximar um sistema não linear por um sistema linear equivalente. Isso facilita a análise e o projeto de controladores, uma vez que muitos métodos e técnicas são baseados em modelos lineares.

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